Question

如圖，B是線段AD上的一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接AE、CD，點P、Q分別是AE、CD的中點，判斷△PBQ的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：先根據等邊三角形的性質得出AB=CB，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°，那么∠ABE=∠CBD，由SAS證明△ABE≌△CBD，得到AE=CD，∠EAB=∠DCB．由點P、Q分別是AE、CD的中點，得出AP=CQ．再由SAS證明△ABP≌△CBQ，然后根據等邊三角形的判定定理解答即可．

解答： 解：△PBQ是等邊三角形．理由如下：
∵△ABC和△BDE分別是等邊三角形，
∴AB=CB，BE=BD，
∴∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD．
在△ABE和△CBD中，

AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB．
∵點P、Q分別是AE、CD的中點，
∴AP=

1

2

AE，CQ=

1

2

CD，
∴AP=CQ．
在△ABP和△CBQ中，

AB=CB ∠PAB=∠QCB AP=CQ

，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴∠PBA=∠QBC，PB=QB，
∴∠QBP=∠QBC-∠PBC=∠PBA-∠PBC=∠ABC=60°，
∴△PBQ是等邊三角形．

點評：此題考查的是全等三角形、等邊三角形的判定及性質，難度適中．證明出△ABE≌△CBD，進而得出得出AP=CQ是解題的關鍵．