Question

在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線過點A和點C （4，0） ．

（1）求該拋物線的表達式．

（2）連接CB，并延長CB至點D，使DB=CB，請判斷點D是否在該拋物線上，并說明理由．

（3）在（2）的條件下，過點C作x軸的垂線EC與直線交于點E，以DE為直徑畫⊙M，

①求圓心M的坐標；

②若直線AP與⊙M相切，P為切點，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

（1）；（2）在，理由見試題解析；（3）①M（0，7）；②P（－4，4）或P（3，3）．

【解析】

試題分析：（1）求出A、B的坐標，然后代入拋物線的解析式即可；

（2）過點D作DF垂直x軸于點F，由△CDF∽△CBO得到D的坐標，代入拋物線進行檢驗；

（3）①先求出E的坐標，設DE與y軸的交點為M′，證明M′就是圓心M，得出M的坐標；

②設P(x，y)，則直線PA⊥MA，且MA=5，因為兩條直線垂直，它們的k相乘為－1以及兩點間距離公式，得到方程組，解方程組即可得到P的坐標．

試題解析：（1）依題意，可知 A（－1， 0），B（0，2），拋物線經過點A，C (4，0) 所以有，解得 ，∴；

（2）點D在該拋物線上．依題意，可得BO=2，CO=4．過點D作DF垂直x軸于點F，∴△CDF∽△CBO，∴，∴DF=4，OF= CF－ OC = 4，∴ D（－4，4）．∵，∴點D在該拋物線上；

（3）①由題意可知E（4，10），設DE與y軸的交點為M′，∵M′B∥EC，∴，∴D M′=EM′，∴M′ 即⊙M的圓心M，∴，∴M（0，7）．

②設P(x，y)，則直線PA⊥MA，且MA=5，∵直線PA⊥MA，∴，解得：，，∴P（－4，4）或P（3，3）．

考點：二次函數綜合題．