Question

如圖，已知：在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且a、b是關于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個根，點D是以C為圓心，CB為半徑的圓與AB的交點．
（1）證明：△ABC是直角三角形；
（2）若

a

b

=

3

4

，求AB的長；
（3）在（2）的條件下求AD長．

Answer 1

（1）證明：依題意，得a+b=c+4，ab=4（c+2）（1分）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-2×4（c+2）=c²+8c+16-8c-16=c²
∴△ABC是直角三角形．（3分）

（2）設a=3k，b=4k，從而c=5k（k＞0）．
代入a+b=c+4，得k=2；
∴a=6，b=8，c=10．（5分）

（3）過C作CE⊥AB于E．
則CE=

ab

c

=

24

5

，BE=

BC2-CE2

=

62-( 24 5 )2

=

18

5

；
由垂徑定理，得BD=2BE=

36

5

；
故AD=10-BD=10-7.2=2.8．（9分）