Question

9．如圖，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，將△ABC繞著點C順時針旋轉α°（0≤α≤90°），得到△EFC，EF與AB、AC相交于點D、H，FC與AB相交于點G、AC相交于點D、H，FC與AB相較于點G．
（1）求證：△GBC≌△HEC；
（2）在旋轉過程中，四邊形BCED可以是某種特殊的平行四邊形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷△ABC為等腰直角三角形得到∠A=∠B=45°，再根據旋轉的性質得∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，于是可根據“ASA”判斷△GBC≌△HEC；
（2）當α=45°時，如圖，根據旋轉的性質得∠BCF=∠ACE=45°，則可計算出∠BCE=∠BCA+∠ACE=135°，所以∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，所以BD∥CE，BC∥DE，于是可判斷四邊形BCED為平行四邊形，加上CB=CE，則可判斷四邊形BCED為菱形．

解答 （1）證明：∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵△ABC繞著點C順時針旋轉α°（0≤α≤90°），得到△EFC，
∴∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，
在△GBC和△HEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠E}\\{CB=CE}\\{∠BCG=∠ECH}\end{array}\right.$，
∴△GBC≌△HEC；
（2）解：當α=45°時，四邊形BCED為菱形．理由如下：
如圖，∵∠BCF=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°+45°=135°，
而∠E=∠B=45°，
∴∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，
∴BD∥CE，BC∥DE，
∴四邊形BCED為平行四邊形，
∵CB=CE，
∴四邊形BCED為菱形．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．解決本題的關鍵是掌握菱形的判定方法．