Question

如圖1，一張矩形紙片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿對角線BD對折，點C落在點C′的位置，BC′交AD于點G．
（1）求證：AG=C′G；
（2）如圖2，再折疊一次，使點D與點A重合，得折痕EN，EN交AD于點M，求EM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過證明△GAB≌△GC′D即可證得線段AG、C′G相等；
（2）在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的長，則EN-MN=EM的長．
解答：（1）證明：∵沿對角線BD對折，點C落在點C′的位置，
∴∠A=∠C′，AB=C′D
∴在△GAB與△GC′D中，

∴△GAB≌△GC′D
∴AG=C′G；

（2）解：∵點D與點A重合，得折痕EN，
∴DM=4cm，ND=5cm，
∵AD=8cm，AB=6cm，
在Rt△ABD中，BD==10cm，
∵EN⊥AD，AB⊥AD，
∴EN∥AB，
∴DN=BD=5cm，
在Rt△MND中，
∴MN==3（cm），
由折疊的性質可知∠NDE=∠NDC，
∵EN∥CD，
∴∠END=∠NDC，
∴∠END=∠NDC=∠NDE，
∴EN=ED，設EM=x，則ED=EN=x+3，
由勾股定理得ED²=EM²+DM²，即（x+3）²=x²+4²，
解得x=，即EM=cm．
點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對應線段相等．同時考查了勾股定理在折疊問題中的運用．