Question

6．如圖，已知矩形ABCD中，E是邊BC的中點，將△ABE沿直線AE折疊，點B落在點F處，連接AF并延長交邊BC的延長線于點G，連接FC，若sin∠FCE=$\frac{4}{5}$，CG=3，求FC的長．

Answer 1

分析 由E是邊BC的中點，得到BE=CE，根據折疊的性質得到BE=EF，∠1=$\frac{1}{2}∠$BAF，得到BE=EF=CE，根據矩形的性質得到∠B=90°，根據余角的性質得到∠BAG=∠FEG=90°，過E作EH⊥CF于H，推出∠AEB=∠ECF，根據平行線的判定定理得到AE∥CF，設AB=4k，AE=5k，勾股定理得到BE=3k，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：∵E是邊BC的中點，
∴BE=CE，
∵將△ABE沿直線AE折疊得到△AFE，
∴BE=EF，∠1=$\frac{1}{2}∠$BAF，
∴BE=EF=CE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴∠AFE=∠EFG=90°，
∴∠BAG+∠G=∠FEG+∠G=90°，
∴∠BAG=∠FEG=90°，
過E作EH⊥CF于H，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠CEF，
∴∠1=∠2，
∴∠AEB=∠ECF，
∴AE∥CF，
∵sin∠FCE=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠AEB=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∴設AB=4k，AE=5k，
∴BE=3k，
∴EF=CE=3k，
∵∠B=∠CHE=90°，∠1=∠2，
∴△ABE∽△EHC，
∴∴$\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{CH}$，
∴CH=$\frac{9}{5}$k，
∴CF=2CH=$\frac{18}{5}$k，
∵AE∥CF，
∴△CFG∽△EAG，
∴$\frac{CF}{AE}$=$\frac{CG}{EG}$，
即$\frac{\frac{18}{5}k}{5k}$=$\frac{3}{3+3k}$，
∴k=$\frac{7}{18}$，
∴CF=$\frac{7}{5}$．

點評 本題考查了翻折變換（折疊問題），相似三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．