Question

（本題滿分14分 第（1）小題4分，第（2）小題4分，第（3）小題6分）
已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝15， cos∠A＝．點M在AB邊上，AM＝2MB，點P是邊AC上的一個動點，設PA＝x．

（1）求底邊BC的長；
（2）若點O是BC的中點，聯接MP、MO、OP，設四邊形AMOP的面積是y，求y關于x的函數關系式，并出寫出x的取值范圍；
（3）把△MPA沿著直線MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一條邊（折痕邊PM除外）與AC垂直？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）BC＝3
（2）y ＝x＋． 0＜x≤15）
（3）x＝2或5或14時滿足△MPN的一條邊與AC垂直

試題分析：解：（1）作BH⊥AC于點H（如圖一），

∵在Rt△ABH中，cos∠A＝，AB＝15，
∴AH＝12………………………………………………（1分）
∴BH＝9．………………………………………………（1分）
∵AC＝15
∴CH＝3．………………………………………………（1分）
∵BC²＝BH²＋CH²，∴BC²＝9²＋3²＝90，∴BC＝3．…（1分）
（2）作OE⊥AB于點E，OF⊥AC于點F（如圖一），
∵點O是BC的中點，∴OE＝OF＝BH＝．
∵AM＝2MB，AB＝AC＝15，∴AM＝10，BM＝5．
∵PA＝x，∴PC＝15－x，
∴y ＝ S_△ABC－S_△BOM－S_△COP＝BH·AC―OE·BM―OF·PC
＝×9×15－－…………………（1+1分）
＝x＋．…………………………………（1分）
定義域：（0＜x≤15）．…………………………… （1分）
（3）①當PN⊥AC時（如圖二），作MG⊥AC于點G，

∵在Rt△AMG中，cos∠A＝，AM＝10
∴AG＝8，∴MG＝6．
①若點P₁在AG上，由折疊知：∠AP₁M＝135°，∴∠MP₁G＝45°．
∵MG⊥AC，∴P₁G＝MG＝6，………（1分）∴AP₁＝AG－P₁G＝2．…………（1分）
②若點P₂在CG上，由折疊知：∠AP₂M＝45°．
∵MG⊥AC，∴P₂G＝MG＝6，∴AP₂＝AG＋P₂G＝14．…………（2分）
③當MN⊥AC時（如圖三），

由折疊知：∠AMP₃＝∠NMP₃，P₃N₃＝AP₃＝x，MN₃＝MA＝10，
∴P₃G＝8－x，GN₃＝4．
∵P₃N₃²＝P₃G²＋GN₃²，∴x²＝（8－x）²＋4²，∴x＝5．……（2分）
綜上所述，x＝2或5或14時滿足△MPN的一條邊與AC垂直．
點評：本題的考查在于建立三角函數模型，主要考查函數的應用。解決此類問題通常有幾個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果，其中關鍵是建立數學模型．