Question

13．如圖，在矩形ABCD中，AD=2$\sqrt{3}$，對角線BD=4，點E是AD上一個動點（點A與E不重合），過E作EF∥BD，交AB于F，把△AEF沿EF折疊得△CEF，設AE為x，△GEF與矩形ABCD的重疊部分的面積為y
（1）求∠ADB的度數
（2）當x為何值時，點G落在∠ABC的平分線上？
（3）求y與x之間的函數關系式，并求出x為何值時，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADB中，求出cos∠ADB的值即可解決問題．
（2）如圖1中，設∠ABC的平分線交AD于M，作GH⊥AB于H．由EF∥BD，推出∠AEF=∠ADB=30°，∠AFE=∠EFG=60°，推出∠GFH=60°，由AE=x，推出AF=FG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，FH=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x，GH=$\frac{1}{2}$x，由∠HBG=∠HGB=45°，推出HB=HG，可得2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x=$\frac{1}{2}$x，解方程即可．
（3）分兩種情形討論①如圖2中，當點G在BC上時，重疊部分是△EFG．②如圖3中，當$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$時，重疊部分是四邊形EFHM，分別求解即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AD=2$\sqrt{3}$，BD=4，
∴∠A=90°，cos∠ADB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$，
∴∠ADB=30°，

（2）如圖1中，設∠ABC的平分線交AD于M，作GH⊥AB于H．

∵EF∥BD，
∴∠AEF=∠ADB=30°，∠AFE=∠EFG=60°，
∴∠GFH=60°，
∵AE=x，
∴AF=FG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，FH=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x，GH=$\frac{1}{2}$x，
∵∠HBG=∠HGB=45°，
∴HB=HG，
∴2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x=$\frac{1}{2}$x，
解得x=2$\sqrt{3}$-2．

（3）①如圖2中，當點G在BC上時，由（2）可得$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{6}$x=2，解得x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，

當0＜x≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$時，S=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²．
②如圖3中，當$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$時，重疊部分是四邊形EFHM，

S=S_△EFG-S_△HMG=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{1}{2}$•[$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）]•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•[$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）]=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+4x-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}}&{（0＜x≤\frac{4\sqrt{3}}{3}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+4x-\frac{8\sqrt{3}}{3}}&{（\frac{4\sqrt{3}}{3}＜x≤2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查坐標系綜合題、翻折變換、三角形的面積、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數構建方程，屬于中考壓軸題．