Question

如圖，拋物線y=x-2x+c的頂點A在直線l：y=x-5.

（1）       求拋物線頂點A的坐標；

（2）       設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側），試判斷△ABD的形狀；

（3）       在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵頂點A的橫坐標為x==1，且頂點A在y=x﹣5上，

∴當x=1時，y=1﹣5=﹣4，

∴A（1，﹣4）．

（2）△ABD是直角三角形．

將A（1，﹣4）代入y=x²﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，

∴y=x²﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）

當y=0時，x²﹣2x﹣3=0，x₁=﹣1，x₂=3

∴C（﹣1，0），D（3，0），

BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4﹣3）²+1²=2，AD²=（3﹣1）²+4²=20，

BD²+AB²=AD²，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

（3）存在．

由題意知：直線y=x﹣5交y軸于點A（0，﹣5），交x軸于點F（5，0）

∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3

∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l，即PA∥BD

則構成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，

過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線并交于點C

設P（x₁，x₁﹣5），則G（1，x₁﹣5）

則PC=|1﹣x₁|，AG=|5﹣x₁﹣4|=|1﹣x₁|

PA=BD=3

由勾股定理得：

（1﹣x₁）²+（1﹣x₁）²=18，x₁²﹣2x₁﹣8=0，x₁=﹣2，4

∴P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1）

存在點P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以點A．B．D．P為頂點的四邊形是平行四邊形．