Question

如圖1，在△ABC 中，BC=4，以線段AB為邊作△ABD，使得AD=BD， 連接DC，再以DC為邊作△CDE，使得DC = DE，∠CDE=∠ADB=α．

（1）如圖2 ，當∠ABC=45°且α=90°時，用等式表示線段AD，DE之間的數量關系；

（2）將線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，連接BF，AF．

①若α=90°，依題意補全圖3， 求線段AF的長；

②請直接寫出線段AF的長（用含α的式子表示）．

Answer 1

（1）AD+DE=4；（2）①4；②．

【解析】

試題分析：（1）由∠ABC=45°且α=90°，可得到A、D、E三點共線、B、D、C三點共線，故可得AD+DE=4；

（2）①圖形見試題解析，設DE與BC相交于點H，連接 AE，交BC于點G，則可證△ADE ≌△BDC，則可得到AE= BC=4，由平移的性質可AE= EF=4，在直角三角形AEF中，由于∠AFE=45°，可以求得AF的長；

②．

試題解析：（1） AD+DE=4．

（2）① 補全圖形，如下圖所示．

設DE與BC相交于點H，連接 AE，交BC于點G，如圖．

∠ADB=∠CDE =90°，∴∠ADE=∠BDC，在 △ADE與△BDC中，∵AD=BD，∠ADE=∠BDC，DE=DC，∴△ADE ≌△BDC，∴AE= BC ，∠AED=∠BCD， DE與BC相交于點H，∴∠GHE=∠DHC，∴∠EGH=∠EDC=90°，線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，∴EF = CB=4， EF // CB，

∴AE= EF，CB//EF，∴∠AEF=∠EGH=90°，AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°，∴AF==4．

② ．

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．平移的性質．