Question

△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α （0°＜α ≤90°） ，點F，G，P分別是DE，BC，CD的中點，連接PF，PG．

（1）如圖①，α=90°，點D在AB上，則∠FPG= °；

（2）如圖②，α=60°，點D不在AB上，判斷∠FPG的度數，并證明你的結論；

（3）連接FG，若AB=5， AD=2，固定△ABC，將△ADE繞點A旋轉，當PF的長最大時，FG的長為 （用含α的式子表示）．

Answer 1

（1）90°；（2）120°，證明見試題解析；（3）（也可以寫成）．

【解析】

試題分析：（1）由AB=AC、AD=AE，得BD=CE，再根據G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，可得出PG∥BD，PF∥CE．則∠GPF=180°﹣∠α=90°；

（2）連接BD，連接CE，由已知可證明△ABD≌△ACE，則∠ABD=∠ACE．因為G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，則PG∥BD，PF∥CE．進而得出∠GPF=180°﹣∠α=120°；

（3）當D在BA的延長線上時，CE=BD最長，此時BD=AB+AD=5+2=7，再由三角形中位線定理即可算出PG=3．5，在Rt△GPH中，由三角函數的定義即可求出GH，進一步求出FG．

試題解析：（1）∵AB=AC、AD=AE，∴BD=CE，∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=90°，即∠GPF=90°；

（2）∠FPG=120°；理由：連接BD，連接CE．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=120°，即∠GPF==120°；

（3）連結BD，CE，過P作PH⊥FG于H，由（2）可知，△ABD≌△ACE，∴BD=CE，且PG=PF=BD，當D在BA的延長線上時，CE最長，即BD最長，此時BD=AB+AD=5+2=7，∴PG=3.5，∵PF=PG，PH⊥FG，∴∠GPH=∠FPG=（180°﹣∠α）=90°﹣α，FG=2HG，∴FG=2HG=2PG•sin∠GPH=2×3.5×=．

考點：1．旋轉的性質；2．全等三角形的判定與性質；3．等腰三角形的性質；4．等邊三角形的性質．