Question

2．如圖，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，點D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點P．則下列結論：①∠AOD=∠COE；②圖形中全等的三角形有3對； ③△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；④CD+CE=$\sqrt{2}$OA；⑤AD²+BE²=2OD²，其中正確的結論有（　　）

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 由同角的銳角互余可判斷①；結合等腰直角三角形的性質可證明△AOD≌△COE，可得到AD=CE，則可求得CD=BE，可證明△COD≌△BOE，且△AOC≌△BOC，可判斷②和③；由全等三角形的性質可知CE=AD，BE=CD，則可得到CD+CE=BC，可判斷④；同理可得到AD²+BE²=CE²+CD²=DE²=OD²+OE²可判斷⑤；可求得答案．

解答 解：
∵在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，
∴CO⊥AB，且AO=CO=BO，∠OCB=∠OAC=∠B=∠ACO=45°，
∴∠AOD+∠COD=∠COD+∠COE=90°，
∴∠AOD=∠COE，故①正確；
在△AOD和△COE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠OCE}\\{AO=CO}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴AD=CE，且AC=BC，
∴CD=BE，
在△COD和△BOE中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BE}\\{∠DCO=∠B}\\{CO=BO}\end{array}\right.$
∴△COD≌△BOE（SAS），
又由等腰直角三角形的性質可得△AOC≌△BOC，
∴全等的三角形有3對，故②正確；
∵△AOD≌△COE，
∴S_{四邊形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△AOD+S_△COD=S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△ABC=2S_{四邊形CDOE}，故③正確；
∵CD=BE，
∴CD+CE=CE+BE=BC，
∵CO=OB=OA，
∴BC=$\sqrt{2}$OA，
∴CD+CE=$\sqrt{2}$OA，故④正確；
∴AD²+BE²=CE²+CD²=DE²=OD²+OE²=2OD²，故⑤正確；
綜上可知正確的有5個，
故選D．

點評 本題為三角形的綜合應用，涉及等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識．利用等腰直角三角形的性質證明三角形全等是解題的關鍵，需要掌握全等三角形的判定方法．本題綜合性較強，考查知識點較多，難度適中．