Question

17．為了迎接“端午”小長假的購物高峰，某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：

運動鞋價格	甲	乙
進價（元/雙）	m	m-20
售價（元/雙）	160	150

已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同．
（1）求m的值；
（2）專賣店計劃購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙，總進價不低于17600元，且不超過17660元，問該專賣店有哪幾種進貨方案？
（3）在（2）的條件下，求該專賣店要獲得最大利潤的進貨方案及最大利潤．

Answer 1

分析 （1）根據：甲運動鞋的總成本÷甲運動鞋的進價=乙運動鞋的總成本÷乙運動鞋的進價，列分式方程求解可得；
（2）設購進甲運動鞋x雙，則乙運動鞋（200-x）雙，根據“17600≤甲運動鞋的總成本+乙運動鞋的總成本≤17660”列不等式組求解可得；
（3）設專賣店獲得的利潤為W，根據“總利潤=甲運動鞋的總利潤+乙運動鞋的總利潤”列出函數解析式，根據一次函數的性質求得最值即可得．

解答 解：（1）根據題意，得：$\frac{3000}{m}$=$\frac{2400}{m-20}$，
解得：m=100，
經檢驗：m=100是分式方程的解，
∴m=100；

（2）設購進甲運動鞋x雙，則乙運動鞋（200-x）雙，
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{100x+80（200-x）≥17600}\\{100x+80（20-x）≤17660}\end{array}\right.$，
解得：80≤x≤83，
∴購進的方案有：
方案一：購進甲運動鞋80雙，乙運動鞋120雙；
方案二：購進甲運動鞋81雙，乙運動鞋119雙；
方案三：購進甲運動鞋82雙，乙運動鞋118雙；
方案四：購進甲運動鞋83雙，乙運動鞋117雙．

（3）設專賣店獲得的利潤為W，
則W=（160-100）x+（150-80）（200-x）
=-10x+14000，
∵W隨x的增大而減小，且80≤x≤83，x為整數，
∴當x=80時，W取得大值，最大值為13200元，
答：當該專賣店購進甲運動鞋80雙、乙運動鞋120雙獲得的利潤最大，最大利潤為13200元．

點評 本題主要考查分式方程、一元一次不等式組和一次函數的應用，理解題意找到題目蘊含的相等關系或不等關系是解應用題的關鍵．