Question

如圖，C是線段AB上一動點，分別以AC、BC為邊作等邊△ACD．等邊△BCE，連接AE、BD分別交CD、CE于M、N兩．
（1）求證：AE=BD；
（2）判斷直線MN與AB的位置關系；
（3）若AB=10，當點C在AB上運動時，是否存在一個位置使MN的長最大？若存在請求出此時AC的長以及MN的長．若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊三角形的性質可得DC=AC，EC=BC，∠DCB=∠ACE=120°，然后利用“邊角邊”證明△DCB和△ACE全等，再根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）根據全等三角形對應角相等求出∠NBC=∠MEC，再求出∠NCB=∠MCE=60°，然后利用“角邊角”證明△NCB和△MCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得CN=CM，從而求出△CMN是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠NMC=∠ACD=60°，然后利用內錯角相等，兩直線平行即可證明；
（3）設AC=x，MN=y，根據平行線分線段成比例定理可得=，再表示出EC、CN、EN，整理得到y、x的函數關系式，再根據二次函數的最值問題解答．
解答：（1）證明：∵△ACD和△BCE均為等邊三角形，
∴DC=AC，EC=BC，且∠DCB=∠ACE=120°，
∵在△DCB和△ACE中，
，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；

（2）MN∥AB．
理由如下：由（1）可知△DCB≌△ACE，
∴∠NBC=∠MEC，
又∵∠MCE=180°-60°-60°=60°，
∴∠NCB=∠MCE=60°，
∵在△NCB和△MCE中，
，
∴△NCB≌△MCE（ASA），
∴CN=CM，
又∵∠MCE=60°，
∴△CMN是等邊三角形，
∴∠NMC=∠ACD=60°，
∴MN∥AB；

（3）設AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，
∴=，
又∵CB=EC=10-x，CN=y，EN=10-x-y，
∴=，
整理得，y=-x²+x，
配方得y=-（x-5）²+2.5（0＜x＜10），
∴當x=5cm時，線段MN有最大值2.5cm．
點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，二次函數的最值問題，綜合性較強，難度較大，準確識圖，找出全等三角形的條件是解題關鍵．