Question

如圖，C是線段AB上的一點，△ACD和△BCE都是等邊三角形．
（1）求證：AE=BD；
（2）若AE交CD于M，BD交CE于N，連接MN，試判斷△MCN的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質得到AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，則可得到∠ACE=∠DCB，根據全等三角形的判定方法可得到△ACE≌△DCB，于是有AE=BD；
（2）由于ACD=∠BCE=60°，可得∠DCE=60°，則∠ACM=∠DCN，利用△ACE≌△DCB得到∠CAM=∠CDN，再根據全等三角形的判定方法可得到△ACM≌△DCN，則CM=CN，
然后根據等邊三角形的判定方法即可得到△MCN為等邊三角形．

解答：（1）證明：∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中

AC=CD ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD；

（2）解：△MCN是等邊三角形．理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=60°，∠ACB是一個平角，
∴∠DCE=60°，
即∠ACM=∠DCN，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
在△ACM和△DCN中

∠CAM=∠CDN CA=CD ∠ACM=∠DCN

∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
∴△MCN為等邊三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：有兩組邊對應相等，并且它們所夾的角也相等，那么這兩個三角形全等；有兩組角分別相等，且其中一組角所對的邊對應相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等，對應角相等．也考查了等邊三角形的判定與性質．