Question

如圖，D是線段AB上的一點，BD=2AD=4，以BD為直徑作半圓O，過點A作半圓O的切線，切點為E，過點B作BC⊥AE于C交半圓于F，連接EF．有下列四個結論：
①∠A=30°；②BF=3CF；③

DE

=

EF

；④EF∥AB．
其中正確的結論是

①③④

．

Answer 1

分析：①由切線的性質和解直角三角形得到∠A=30°；
②如圖，連接DF．根據圓周角定理和平行線的判定推知AC∥DF，則平行線分線段成比例，即

BF

BC

=

BD

BA

，由此可以求得BF=2CF；
③由平行線的性質得到DF⊥OE，則根據垂徑定理和圓周角、弧、弦的關系進行解答；
④由圓周角、弧、弦的關系和旋切角定理求得內錯角∠CEF=∠EFD，則EF∥AB．

解答：解：①如圖，連接OE．
∵AE是切線，
∴AE⊥OE，即∠AEO=90°．
∵BD=2AD=4，
∴OE=OD=2，
∴AO=AD+OD=2OE，
∴∠A=30°；
故①正確；

②如圖，連接DF．
∵BD是直徑，∴DF⊥EF．
又∵AC⊥BC，
∴AC∥DF，
∴

BF

BC

=

BD

BA

，由比例的性質得到

BF

CF

=

BD

DA

=2，即BF=2CF．故②錯誤；

③如圖，假設DF交OE于點G．
∵AC∥DF，AE⊥OE，
∴DF⊥OE，
∴DG=FG，
∴

DE

=

EF

．
故③正確；

④如圖，連接DE．
∵

DE

=

EF

．
∴∠EDF=∠EFD．
又∵AC是切線，
∴∠CEF=∠EDF，
∴∠CEF=∠EFD，
∴EF∥AB．
故④正確．
綜上所述，正確的結論是①③④．
故答案是：①③④．

點評：本題綜合考查了切線的性質，圓周角定理以及垂徑定理等知識點．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．