Question

4．如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，且AC=AB+BD．求證：AD是∠BAC的平分線．

Answer 1

分析 在CB的延長線上截取BE=AB，則∠E=∠BAE，由三角形外角等于不相鄰的內(nèi)角和可推斷出∠E=∠C，即AE=AC，再根據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系即可得出∠BAD=∠CAD，從而得證．

解答 證明：延長CB，在CB的延長線上截取BE=AB，連接AE，如下圖：

∵AB=BE，
∴∠E=∠BAE，
∵∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E=2∠C（三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和），
∴∠E=∠C，
∴AE=AC，

∵AC=AB+BD，DE=BE+BD=AB+BD，
∴AE=DE，

∴∠EAD=∠ADE，
∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠C+∠BAD，∠ADE=∠C+∠CAD（三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和），

∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
證畢．

點評 本題考查的是三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)家之和，只要利用好這個原理，結(jié)合題意即可得證．