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13.如圖,已知⊙O的半徑為2,AB是⊙O的直徑,過B點作⊙O的切線BC,E是BC的中點,AC交⊙O于點F,四邊形AOEF是平行四邊形.
(1)求BC的長.
(2)求證:EF是⊙O的切線.

分析 (1)連接OF,由四邊形AOEF是平行四邊形,得到EF∥AB由E是BC的中點,得到AF=CF,根據切線的性質得到∠ABE=90°,推出四邊形BEFO是矩形,于是得到結論;
(2)由(1)證得四邊形OBEF為矩形,得到∠EFO=90°,即EF⊥OF,根據切線的判定定理即可得到結論.

解答 解:(1)連接OF,
∵四邊形AOEF是平行四邊形,
∴EF∥AB,
∵E是BC的中點,
∵AF=CF,
∵AO=BO,
∴OF∥BC,
∵過B點作⊙O的切線BC,
∴∠ABE=90°,
∴四邊形BEFO是矩形,
∴BE=OF=2,
∴BC=2EB=4;

(2)由(1)證得四邊形OBEF為矩形,
∴∠EFO=90°,
即EF⊥OF,
 又OF為半徑,
∴EF是⊙O的切線.

點評 本題考查了切線的判定和性質,平行四邊形的判定和性質,矩形的判定和性質,熟練掌握切線的判定和性質是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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