Question

1．如圖1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
（1）如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°．求證：DB=DC．
（2）如圖3，四邊形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=2，則AB-AC=？

Answer 1

分析 （1）證明△DFC≌△DEB即可．
（2）先證明△DFC≌△DEB，再證明△ADF≌△ADE，結合BD與EB的關系即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB}&{\;}\\{∠FCD=∠B}&{\;}\\{DF=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC=DB．
（2）解：如圖③連接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB}&{\;}\\{∠FCD=∠B}&{\;}\\{DC=DB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△DEB，
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AB-AC=（AE+BE）-（AF-CF）=2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=60°，BD=2，
∴BE=1，
∴AB-AC=2．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、角平分線的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形，屬于中考�？碱}型．