Question

6．如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC繞點B順時針旋轉90°至△DBE后，再把△ABC沿射線平移至△FEG，DE、FG相交于點H．
（1）求證：DE⊥FG；
（2）連接CG，判斷四邊形CBEG的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）延長ED交AC于M，如圖，根據旋轉的性質得△ABC≌△DBE，則∠1=∠2，由于∠1+∠A=90°，則∠2+∠A=90°，于是可判斷DE⊥AC，接著根據平移的性質得AC∥FG，所以DE⊥FG；
（2）利用旋轉的性質得BC=BE，∠CBE=90°，利用平移的性質得BC=GE，CG=BE，則CB=BE=GE=CG，加上∠CBE=90°，于是根據正方形的判定方法可判斷四邊形CBEG為正方形．

解答 （1）證明：延長ED交AC于M，如圖，
∵△ABC繞點B順時針旋轉90°至△DBE，
∴△ABC≌△DBE，
∴∠1=∠2，
而∠1+∠A=90°，
∴∠2+∠A=90°，
∴∠AME=90°，
∴DE⊥AC，
∵△ABC沿射線平移至△FEG，
∴AC∥FG，
∴DE⊥FG；
（2）四邊形CBEG為正方形．理由如下：
∵△ABC繞點B順時針旋轉90°至△DBE，
∴BC=BE，∠CBE=90°，
∵△ABC沿射線平移至△FEG，
∴BC=GE，CG=BE，
∴CB=BE=GE=CG，
而∠CBE=90°，
∴四邊形CBEG為正方形．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的判定和平移的性質．