Question

如圖①，平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為（2，4），將矩形OABC繞著點A順時針旋轉90°得到矩形AFED，直線y=kx+b經過點G（4，0），交y軸于點H．

（1）點D、E的坐標分別為　　．

（2）當直線GH經過EF中點K時，如圖②，動點P從點C出發，沿著折線C﹣B﹣D以每秒1個單位速度向終點D運動，連結PH、PG，設點P運動的時間為t（秒），△PGH的面積為S（平方單位）．

①求直線GH所對應的函數關系式．

②求S與t之間的函數關系式．

（3）當直線GH經過點E時，如圖③，點Q是射線B﹣D﹣E﹣F上的點，過點Q作QM⊥GH于點M，作QN⊥x軸于點N，當△QMN為等腰三角形時，直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）由矩形的性質和選轉的性質即可，

（2）利用待定系數法求出GH的解析式，三角形的面積等于另幾個三角形的面積的和或差計算；

（3）根據運動特點和圖形的性質，確定出點Q，N，M的坐標，利用兩點間的距離公式求出對應相等，△QMN為等腰三角形，分三種情況建立方程求解，即可．

【解答】（1）解：∵矩形OABC繞著點A順時針旋轉90°得到矩形AFED，且B（2，4），

∴OA=AD=2，OC=AF=4，

∴D（2，2），E（6，2）；

故答案為D（2，2），E（6，2）；

（2）①解：∵E（6，2），G（4，0），

∴K（6，1），

∵直線y=kx+b經過點G，K，

∴，

∴，

∴直線GH的解析式為y=x﹣2，

②當0≤t≤2時，延長CB交HG于W，如圖1，

S_△PHG=S_△SHW﹣S_△HCP﹣S_△PGW= [[6×12﹣6t﹣4（12﹣t）]=﹣t+12，

②當2＜t≤4時，延長BA交HG于T，如圖2，

S_△PHG=S_△PTH+S_△PGT=×4（7﹣t）=﹣2t+14，

（3）解；①當0≤t≤2時，如圖3，

由題意，得N（2，0），Q（2，4﹣t），M（，），

∴QN²=（4﹣t）²，MN²=+，QM²=，

（Ⅰ）、當QN=QM時，即QN²=QM²，

∴（4﹣t）²=+，

∴t=（舍），

（Ⅱ）、當QN=QM時，方法同（Ⅰ）的一樣，得t=（舍），

（Ⅲ）、當MN=QM時，方法同（Ⅰ）的一樣，得到方程無解，

②當2＜t≤6時，

由題意，得N（t，0），Q（t，2），M（，），

方法和①（Ⅰ）一樣，分三種情況，

（Ⅰ）、當QN=QM時，t=6+2（舍），或t=6﹣2∴Q（6﹣2，2）；

（Ⅱ）、當QN=MN時，t=﹣8（舍）或t=2，∴Q（2，2）；

（Ⅲ）、當QM=MN時，t=4，∴Q（4，2）；

②當6＜t≤8時，

由題意，得N（6，0），Q（6，8﹣t），M（，﹣），

方法和①（Ⅰ）一樣，分三種情況，

（Ⅰ）、當QN=QM時，t=10+2（舍），或t=10﹣2∴Q（6，2﹣2）；

（Ⅱ）、當QN=MN時，t=6（舍）或t=10（舍）

（Ⅲ）、當QM=MN時，t=8（舍）；

∴Q（6﹣2，2）或Q（2，2）或Q（4，2）或Q（6，2﹣2）；

【點評】本題是四邊形的綜合題，涉及到兩點間的距離公式，坐標系中面積的計算方法，分段分情況討論，解本題的關鍵是用t表示出點的坐標和分情況，本題的計算量比較大．