Question

17．如圖①Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點D是AC的中點，點E是AB上一動點，做∠DEF=45°交BC于點F，連接DF，
（1）直接寫出圖中的一對相似三角形；
（2）設AE=x，BF=y，求y與x的函數關系式；并計算當x當何值時，y有最值，最值是多少？
（3）如圖②，若DE⊥AB，求出DF的長．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，△ADE∽△BEF．只要證明∠FEB=∠ADE即可．
（2）由△ADE∽△BEF，得$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，即$\frac{2}{4\sqrt{2}-x}$=$\frac{x}{y}$，由此即可解決問題，再利用配方法求出最值即可．
（3）x=AE=DE=$\sqrt{2}$，由y=-$\frac{1}{2}$x²+2$\sqrt{2}$x=3，推出BF=3，CF=BC-BF=1，在Rt△CDF中，利用DF=$\sqrt{C{D}^{2}+C{F}^{2}}$即可解決問題．

解答 解：（1）如圖①中，△ADE∽△BEF．理由如下：

∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEF+∠FEB，∠DEF=∠A=45°，
∴∠FEB=∠ADE，
∴△ADE∽△BEF．

（2）∵AC=CB=4，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵D是AC中點，
∴AD=DC=2，
∵△ADE∽△BEF，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，
∴$\frac{2}{4\sqrt{2}-x}$=$\frac{x}{y}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+2$\sqrt{2}$x，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2$\sqrt{2}$x=-$\frac{1}{2}$（x-2$\sqrt{2}$）²+4，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴x=2$\sqrt{2}$時，y有最大值4．

（3）如圖②中，

∵DE⊥AB，
∴∠A=∠ADE=45°，
∵AD=DC=2，
∴x=AE=DE=$\sqrt{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+2$\sqrt{2}$x=3，
∴BF=3，CF=BC-BF=1，
在Rt△CDF中，DF=$\sqrt{C{D}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、二次函數的應用、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會構建二次函數解決最值問題，屬于中考常考題型．