Question

10．如圖，AB為⊙O的直徑，AB=10，弦AC=6，∠ACB的外角平分線交⊙O于點D，求CD的長．

Answer 1

分析 過點D作DE⊥AC于點E，由于∠ACB的外角平分線交⊙O于點D，從而可知∠DAB=DBA=45°，所以△DAB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出AD的長度，設ED=x，利用勾股定理可列出方程求出x的值．

解答 解：過點D作DE⊥AC于點E，
∵∠ACB的外角平分線交⊙O于點D，
∴∠ECD=∠DCB=45°，
∵∠ECD=∠DBA，∠DCB=∠DAB
∴∠DAB=DBA=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵AB=10，
∴由勾股定理可知：AD=BD=5$\sqrt{2}$，
設ED=x，
∵∠ECD=45°，∠DEC=90°，
∴CE=ED=x
在Rt△AED中，
由勾股定理可知：AD²=AE²+ED²，
∴50=（x+6）²+x²，
∴解得：x=7或x=-1（舍去）
∴由勾股定理可知：CE=$\sqrt{2}$ED=7$\sqrt{2}$

點評 本題考查圓的綜合問題，解題的關鍵是利用圓內接四邊形的性質以及圓周角定理可知∠DAB=DBA=45°，再根據勾股定理列出方程求出ED的長度，本題屬于中等題型．