Question

17．在等腰△ABC中，AB=AC，△ABC周長為16cm，AC邊上的中線BD把△ABC分成周長差為4cm的兩個三角形，求△ABC各邊的長．

Answer 1

分析 結合圖形兩腰長的差就是腰長與底邊的差，因為腰長與底邊的大小不明確，所以分腰長大于底邊和腰長小于底邊兩種情況討論．

解答 解：根據題意，分成兩部分的周長的差等于腰長與底邊的差，
（1）若AB＞BC，則AB-BC=4，
又因為2AB+BC=16，
聯立方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{AB-BC=4}\\{2AB+BC=16}\end{array}\right.$，
解得：AB=$\frac{20}{3}$，BC=$\frac{8}{3}$，
$\frac{20}{3}$cm、$\frac{20}{3}$cm、$\frac{8}{3}$cm三邊能夠組成三角形；
（2）若AB＜BC，則BC-AB=4，
又因為2AB+BC=16，
聯立方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{BC-AB=4}\\{2AB+BC=16}\end{array}\right.$，
解得：AB=4，BC=8，
4cm、4cm、8cm三邊不能夠組成三角形；
因此三角形的各邊長為$\frac{20}{3}$cm、$\frac{20}{3}$cm、$\frac{8}{3}$cm．

點評 本題主要考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系；做題中利用了分類討論的思想，注意運用三角形三邊關系對三角形的組成情況作出判斷，這是解題的關鍵．