Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，過點C作∠BCD=∠CAB交AB的延長線于點D，過點O作直徑EF∥BC，交AC于點G.

（1）求證：CD是⊙O的切線.

（2）若⊙O的半徑為2，∠BCD=30°.

①連接AE、DE，求證：四邊形ACDE是菱形.

②當點P是線段AD上的一動點時，求PF+PG的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析，②PF+PG的最小值為.

【解析】

（1）連接OC，由AB是直徑可得∠ACB=90°，由OC=OB可得∠ABC=∠OCB，由銳角互余的關系可得，即可得答案；（2）①連線AE、ED、BE，由∠BCD=30°，可得∠OCB=60°，進而可得∠OBC=60°，根據外角性質可得∠CDA=30°，即可證明∠CDA=∠CAD，可得AC=DC，由平行線性質可得，進而可得，即可證明ΔOCB，ΔOEB是等邊三角形，易證明，，可得AC=CD=AE=ED即可得答案；②作F關于直線AB的對稱點H，H在⊙O上，連接GH交AB于P點，此時線段GH最短，則PF+PG最小，連接OH，過H作HI⊥EF，可求出，，在Rt△AGO中，利用三角函數可求出OG的長，在Rt△HIO中可求出OI、HI的長，利用勾股定理求出GH的長即可.

（1）連接OC，

∵OC=OB，

∴，

∵AB是⊙O的直徑，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O切線.

（2）①連線AE、ED、BE，

∵

∴

∴

∴AC=DC

∵EF∥BC

∴

∴

∵OE=OB=BE

∴ΔOCB，ΔOEB是等邊三角形

∵BC=OB=BE

∴易證，

∴AC=CD=AE=ED

∴四邊形ACDE是菱形，

②作F關于直線AB的對稱點H，H在⊙O上，連接GH交AB于P點，此時線段GH最短，則PF+PG最小，連接OH，過H作HI⊥EF

由①已證

又∵F于H關于直線AB對稱

∴

∴，

在RtΔAGO中，OA=2

∴

在RtΔHIO中，OH=2

∴，

∴

∴PF+PG的最小值為