Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（0，3），B（1，0），連接BA，將線段BA繞點B順時針旋轉90°得到線段BC，反比例函數y＝的圖象G經過點C．

（1）請直接寫出點C的坐標及k的值；

（2）若點P在圖象G上，且∠POB＝∠BAO，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，若Q（0，m）為y軸正半軸上一點，過點Q作x軸的平行線與圖象G交于點M，與直線OP交于點N，若點M在點N左側，結合圖象，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)點C的坐標（4，1），k的值是4； (2) P（2，）；(3)

【解析】

（1）過C點作CH⊥x軸于H，如圖，利用旋轉的性質得BA=BC，∠ABC=90°，再證明△ABO≌△BCH得到CH=OB=1，BH=OA=3，則C（4，1），然后把C點坐標代入y=(x＞0)中可計算出k的值；
（2）畫出過點C的反比例函數y=(x＞0)的草圖，結合條件點P在圖象G上，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論；
（3）由Q（0，m），得到OQ=m，得到M（，m），N（3m，m），根據點M在點N左側，列不等式即可得到結論．

解：(1) 過C點作CH⊥x軸于H，如圖，
∵線段AB繞點B順時針旋轉90°，得到線段BC，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∵∠ABO+∠CBH=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBH，
在△ABO和△BCH中

∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH=OB=1，BH=OA=3，
∴C（4，1），
∵點C落在函數y=（x＞0）的圖象上，
∴k=4×1=4；

故答案為：點C的坐標（4，1），k的值是4

(2)過O作OP∥BC交于點P，過P作PE⊥x軸于E，
∵∠POE=∠OAB，∠AOB=∠PEO，

∴△OAB∽△OHP，
∴PE：OE=OB：OA=1：3，∵點P在 上

∴

∴P（2，）

(3) ，理由：

∵Q（0，m），

∴OQ=m，
∵QM∥x軸，與圖象G交于點M，與直線OP交于點N，
∴M（，m），N（3m，m），
∵點M在點N左側，
∴＜3m，
∵m＞0，
∴m＞．