Question

7．如圖，拋物線y=ax²+bx+1過A（1，0）、B，（5，0）兩點．
（1）求：拋物線的函數表達式；
（2）求：拋物線與y軸的交點C的坐標及其對稱軸
（3）若拋物線對稱軸上有一點P，使△COA∽△APB，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點坐標代入，可求得a、b的值，可求得拋物線的函數表達式；
（2）根據（1）中所求拋物線的解析式可求得C點的坐標，及對稱軸；
（3）由A、C點的坐標可判定△COA為等腰直角三角形，若△COA∽△APB，可知△APB為等腰直角三角形，利用直角三角形的性質可求得P到x軸的距離，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵拋物線y=ax²+bx+1過A（1，0）、B，（5，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{25a+5b+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{b=-\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數表達式為y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x+1；

（2）在y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x+1中，令x=0可得y=1，
∴C點坐標為（0，1），
又y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x+1=$\frac{1}{5}$（x-3）²-$\frac{4}{5}$，
∴拋物線對稱軸為直線x=3；

（3）∵A（1，0），C（0，1），
∴OA=OC=1，
∴△COA為等腰直角三角形，且∠COA=90°，
∵△COA∽△APB，
∴△APB為等腰直角三角形，∠APB=90°，
∵P在拋物線對稱軸上，
∴P到AB的距離=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×（5-1）=2，
∴P點坐標為（3，2）或（3，-2）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的性質、相似三角形的性質、等腰直角三角形的性質等知識．在（1）中注意待定系數法的應用步驟，在（2）中，也可以直接利用對稱軸公式求解，在（3）中由直角三角形的性質求得P點到x軸的距離是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大，較易得分．