Question

13．如圖，兩個形狀．大小完全相同的含有30゜、60゜的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉．

（1）試說明：∠DPC=90゜；
（2）如圖，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；
（3）如圖，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為3゜/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為2゜/秒，在兩個三角板旋轉過程中（PC轉到與PM重合時，兩三角板都停止轉動）．設兩個三角板旋轉時間為t秒，則∠BPN=180-2t，∠CPD=90-t （用含有t的代數式表示，并化簡）；以下兩個結論：①$\frac{∠CPD}{∠BPN}$為定值；②∠BPN+∠CPD為定值，正確的是
①（填寫你認為正確結論的對應序號）．

Answer 1

分析 （1）利用含有30゜、60゜的三角板得出∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB，進而求出即可；
（2）設∠CPE=∠DPE=x，∠CPF=y，則∠APF=∠DPF=2x+y，進而利用∠CPA=60゜求出即可；
（3）首先得出①正確，設運動時間為t秒，則∠BPM=2t，表示出∠CPD和∠BPN的度數即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB，∠CPA=60°，∠DPB=30°，
∴∠DPC=180゜-30゜-60゜=90゜；

（2）設∠CPE=∠DPE=x，∠CPF=y，
則∠APF=∠DPF=2x+y，
∵∠CPA=60゜，
∴y+2x+y=60゜，
∴x+y=30゜
∴∠EPF=x+y=30゜

（3）①正確．
設運動時間為t秒，則∠BPM=2t，
∴∠BPN=180-2t，∠DPM=30-2t，∠APN=3t．
∴∠CPD=180-∠DPM-∠CPA-∠APN=90-t，
∴$\frac{∠CPD}{∠BPN}$=$\frac{90-t}{180-2t}$=$\frac{1}{2}$．

②∠BPN+∠CPD=180-2t+90-t=270-3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時間在變化，不為定值，結論錯誤．
故答案為：180-2t；90-t；①．

點評 此題主要考查了角的計算，利用數形結合得出等式是解題關鍵，還要理清角之間的關系．