Question

13．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+ax+a-2=0．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，且$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{13}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△＞0，此題得證；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x₁+x₂=-a、x₁•x₂=a-2，結(jié)合$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{13}$即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之即可得出a的值．

解答 （1）證明：在方程x²+ax+a-2=0中，△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4，
∵（a-2）²≥0，
∴△＞0，
故不論a為何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：∵方程x²+ax+a-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a-2，
∵$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{13}$，
∴${（{x_1}-{x_2}）^2}=13$，
∴${（{x_1}+{x_2}）^2}-4{x_1}{x_2}=13$，即a²-4（a-2）=13，
整理得：（a-2）²=9，
解得：a₁=5，a₂=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握“當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．