Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），將線段BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BE，
（1）求∠BAE的值（用α表示）；
（2）若∠BCD=150°，∠ABD=60°，判斷△ABD的形狀并加以證明．

Answer 1

分析 （1）連接AE、CE，根據旋轉可得出∠CBE=60°、BC=BE，結合等邊三角形的判定即可得出△BCE為等邊三角形，進而可得出BE=CE，由AB=AC和AE=AE利用全等三角形的判定定理SSS即可證出△ABE≌△ACE，再根據全等三角形的性質即可得出∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，代入數據此題得解；
（2）△ABD為等邊三角形．由等邊三角形的性質可得出∠BEC=60°，由（1）△ABE≌△ACE結合角的計算可得出∠BEA=150°=∠BCD，再由∠CBE=60°=∠ABD即可得出∠ABE=∠DBC，利用全等三角形的判定定理ASA即可證出△ABE≌△DBC，即找出AB=DB，結合∠ABD=60°即可證出△ABD為等邊三角形．

解答 解：（1）連接AE、CE，如圖1所示．
∵將線段BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BE，
∴∠CBE=60°，BC=BE，
∴△BCE為等邊三角形，
∴BE=CE．
在△ABE和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AE=AE}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACE（SSS），
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$α．
（2）△ABD為等邊三角形．
證明：∵△BCE為等邊三角形，
∴∠BEC=60°．
∵△ABE≌△ACE，
∴∠BEA=∠CEA=$\frac{1}{2}$（360°-∠BEC）=150°，
又∵∠BCD=150°，
∴∠BEA=∠BCD．
∵∠CBE=60°，∠ABD=60°，
∴∠ABE+∠EBD=60°，∠EBD+∠DBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC．
在△ABE和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\\{∠BEA=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（ASA），
∴AB=DB．
∵∠ABD=60°，
∴△ABD為等邊三角形．

點評 本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質，結合邊角關系證出△ABE≌△ACE和△ABE≌△DBC是解題的關鍵．