Question

4．問題提出：如果一個多邊形的各個頂點均在另一個多邊形的邊上，則稱這個多邊形為另一多邊形的內接多邊形
問題探究：

（1）如圖1，正方形PEFG的頂點E、F在等邊三角形ABC的邊AB上，頂點P在AC邊上．請在等邊三角形ABC內部，以A為位似中心，作出正方形PEFG的位似正方形P'E'F'G'，且使正方形P'E'F'G'的面積最大（不寫作法）
（2）如圖2，在邊長為4正方形ABCD中，畫出一個面積最大的內接正三角形，并求此最大內接正三角形的面積
拓展應用：
（3）如圖3，在邊長為4的正方形ABCD中，能不能截下一個面積最大的直角三角形，并使其三邊比為3：4：5，若能，請求出此直角三角形的最大面積，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用位似圖形的性質，作出正方形PEFG的位似正方形P'E'F'G'，如圖1所示；
（2）如圖2，△DEF是最大內接正三角形，在AD上取一點M，使得EM=MD．由△DAE≌△DCF，推出∠ADE=∠CDF，由∠ADC=90°，推出∠ADE=∠CDF=15°，推出∠MED=∠MDE=15°，推出∠AME=∠MED+∠MDE=30°，設AE=a，則EM=DM=2a，AM=$\sqrt{3}$a，可得$\sqrt{3}$a+2a=4，推出a=4（2-$\sqrt{3}$），推出BE=BF=4（$\sqrt{3}$-1），由此即可解決問題．
（3）能．理由：如圖3中，假設△BEF是直角三角形，EF：BE：BF=3：4：5，由△ABE∽△DEF，可得$\frac{DE}{AB}$=$\frac{DF}{AE}$=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{3}{4}$，AB=4，推出DE=3，AE=1，DF=$\frac{3}{4}$，推出BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{17}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{17}$，BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{5}{4}$$\sqrt{17}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，正方形P'E'F'G'即為所求；


（2）如圖2，△DEF是最大內接正三角形，在AD上取一點M，使得EM=MD．

∵△DEF是等邊三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
在Rt△DAE和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF，
∴∠ADE=∠CDF，∵∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDF=15°，
∴∠MED=∠MDE=15°，
∴∠AME=∠MED+∠MDE=30°，
設AE=a，則EM=DM=2a，AM=$\sqrt{3}$a，
∴$\sqrt{3}$a+2a=4，
∴a=4（2-$\sqrt{3}$），
∴BE=BF=4（$\sqrt{3}$-1），
∴S_△DEF=16-2×$\frac{1}{2}$×4×4（2-$\sqrt{3}$）-$\frac{1}{2}$×4（$\sqrt{3}$-1）×4（$\sqrt{3}$-1）=16（2$\sqrt{3}$-3）．

（3）能．理由：如圖3中，假設△BEF是直角三角形，EF：BE：BF=3：4：5，

∵∠A=∠D=∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{DF}{AE}$=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{3}{4}$，∵AB=4，
∴DE=3，AE=1，DF=$\frac{3}{4}$，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{17}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{17}$，BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{5}{4}$$\sqrt{17}$，
∴△BEF滿足條件，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$•BE•EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{17}$×$\frac{3}{4}$$\sqrt{17}$=$\frac{51}{8}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的性質、正方形的性質、直角三角形的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．