Question

16．如圖，⊙A的圓心A在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的圖象上，且與x軸、y軸相切于點(diǎn)B、C，一次函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，且與x軸交于點(diǎn)D，與⊙A的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E．
（1）求b的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求CE長及∠CBE的大小；
（3）若將⊙A沿y軸上下平移，使其與y軸及直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+b均相切，求平移的方向及平移的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AC、AB．首先證明四邊形ABOC是正方形，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）如圖2中，連接BC、BE，作AM⊥CE于M．在Rt△DOC中，由tan∠CDO=$\frac{OC}{DO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠CDO=30°，由AC∥BD，推出∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，
由AM⊥CE，推出∠CAM=∠EAM=60°，推出∠CAE=120°，在Rt△AMC中，根據(jù)CM=AC•cos30°=$\frac{3}{2}$，推出CE=2CM=3，可得∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CAE=60°，由此即可解決問題．
（3）分兩種情形求解如圖3中，當(dāng)⊙A″與直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$相切于點(diǎn)E，AB與直線CD交于點(diǎn)K，想辦法求出AA″，即可解決問題．同法求出AA′．

解答 解：（1）如圖1中，連接AC、AB．

∵⊙A與x軸、y軸相切于點(diǎn)B、C，
∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四邊形ABOC是正方形，設(shè)A（m，m），
∵點(diǎn)A在y=$\frac{3}{x}$上，
∴m²=3，
∵m＞0，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
∴OC=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，$\sqrt{3}$），
∵一次函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，令y=0得x=-3，
∴D（-3，0），b=$\sqrt{3}$．

（2）如圖2中，連接BC、BE，作AM⊥CE于M．

在Rt△DOC中，∵tan∠CDO=$\frac{OC}{DO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CDO=30°，
∵AC∥BD，
∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，
∵AM⊥CE，
∴∠CAM=∠EAM=60°，
∴∠CAE=120°，
在Rt△AMC中，CM=AC•cos30°=$\frac{3}{2}$，
∴CE=2CM=3，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CAE=60°．

（3）如圖3中，

①當(dāng)⊙A″與直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$相切于點(diǎn)E，AB與直線CD交于點(diǎn)K，
∵AB∥OC，
∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°，
在Rt△A″EK中，A″E=$\sqrt{3}$，A″K=A″E•cos30°=$\frac{3}{2}$，
在Rt△CKA中，AK=CA•tan30°=1，
∴AA″=A″K+AK=1+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴⊙A向上平移$\frac{5}{2}$的單位⊙A與y軸及直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+$\sqrt{3}$均相切．
②同理可得⊙A向下平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位⊙A與y軸及直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+$\sqrt{3}$均相切．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考常考題型．