Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，點E從點C出發沿射線CA以每秒2cm的速度運動，同時點F從點B出發沿射線BC以每秒1
cm的速度運動．設運動時間為t秒．
（1）填空：AB=4$\sqrt{5}$cm；
（2）若0＜t＜4，試問：t為何值時，以E、C、F為頂點的三角形與△ABC相似；
（3）若∠ACB的平分線CG交△ECF的外接圓于點G．試探究在整個運動過程中，CE、CF、CG之間存在的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理即可求得AB的長度；
（2）0＜t＜4時，E和F分別在邊AC和BC上，分成△EFC∽△ABC和△FEC∽△ABC兩種情況，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解；
（3）分成0＜t＜4和t≥4兩種情況進行討論，當0＜t＜4時，證明△EGH≌△FGC，△CGH是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，當t≥4時，思路相同．

解答 解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$
故答案為4$\sqrt{5}$．

（2）由題意，EC=2t，BF=t，FC=4-t
∵∠ECF=∠ACB，∴以E、C、F為頂點的三角形與△ACB相似有兩種情況：

當$\frac{EC}{AC}$=$\frac{FC}{BC}$時，△EFC∽△ABC
∴$\frac{2t}{8}$=$\frac{4-t}{4}$，解得t=2，
當$\frac{EC}{BC}$=$\frac{FC}{AC}$時，△FEC∽△ABC
∴$\frac{2t}{4}$=$\frac{4-t}{8}$，解得t=0.8，
∴當t=0.8或2秒時，以E、C、F為頂點的三角形與△ABC相似．

（3）當0＜t＜4時，過點G作GH⊥CG交AC于H．

∵∠ACB=90°，
∴EF為△ECF的外接圓的直徑，
∴∠EGF=90°，
∴∠HGC=∠EGF=90°
∴∠EGH=∠FGC
∵CG平分∠ACB，
∴∠ECG=∠FCG=45°
∴$\widehat{EG}$=$\widehat{FG}$，
∴EG=FG
∵∠ECG=45°，
∴∠EHG=45°
∴∠EHG=∠FCG，
∴△EGH≌△FGC
∴EH=FC
∵∠EHG=∠ECG=45°，
∴CH=$\sqrt{2}$CG
∵CH=CE+EH，
∴CE+CF=$\sqrt{2}$CG．
當t≥4時，過點G作GM⊥CG交AC于M．

同理可得CE-CF=$\sqrt{2}$CG．

點評 本題考查全等三角形的判定與性質、勾股定理以及圓的弧、弦、圓心角、圓周角之間的關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．