Question

11．長為1，寬為a的矩形紙片（0.5＜a＜l），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）：再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作），如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作停止．當(dāng)n=3時(shí)，a的值為$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)所給的圖形可以看出每一次操作時(shí)所得正方形的邊長都等于原矩形的寬，第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1-a，同理得出第二次操作時(shí)正方形的邊長為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊的長分別是1-a和2a-1，第三次操作分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)1-a＞2a-1時(shí)，第三次操作后，剩下的長方形兩邊長分別是（1-a）-（2a-1）和2a-1；②當(dāng)1-a＜2a-1時(shí)，第三次操作后，剩下的長方形兩邊長分別是（2a-1）-（1-a）和1-a，并且剩下的長方形恰好是正方形，即可求出a的值．

解答 解：當(dāng)n=3時(shí)，即第三次操作，∵長為1，寬為a的長方形紙片（$\frac{1}{2}$＜a＜1），
∴第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1-a，
同理，第二次操作時(shí)正方形的邊長為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a，2a-1，
第三次操作分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)1-a＞2a-1時(shí)，
由題意得：（1-a）-（2a-1）=2a-1，
解得：a=$\frac{3}{5}$，當(dāng)a=$\frac{3}{5}$時(shí)，1-a＞2a-1，∴a=$\frac{3}{5}$是所求的一個(gè)值；
②當(dāng)1-a＜2a-1時(shí)，
由題意得：（2a-1）-（1-a）=1-a，
解得：a=$\frac{3}{4}$，當(dāng)a=$\frac{3}{4}$時(shí)，1-a＜2a-1，∴a=$\frac{3}{4}$是所求的一個(gè)值；
故答案為：$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊問題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是分別求出每次操作后剩下的矩形的兩邊的長度．