Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，點P在射線AC上（點P與點A、點C不重合），點D在線段BC的延長線上，且AP＝CD，△PCD′與△PCD關于直線AC對稱．

（1）如圖1，當點P在線段AC上時，

①求證：PB＝PD；

②請求出∠BPD′的度數；

（2）當點P在射線AC上運動時，請直接回答：

①PB＝PD是否仍然成立？

②∠BPD′的度數是否發生變化？

（3）將△PCD′繞點P順時針旋轉，在旋轉的過程中，PD′與PB能否重合？若能重合，請直接寫出旋轉的角度；若不能重合，請說明理由；

（4）若AB＝4，當點P為AC邊的中點時，請直接寫出PD'的長

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②60°；（2）①成立，理由見解析；②∠BPD′的度數不發生變化，理由見解析；（3）PD′與PB能重合，旋轉的角度為60°；（4）PD'＝2

【解析】

（1）①過點P作PE∥BC交AB于E，易證△APE是等邊三角形，得AP＝PE，BE＝PC，∠BEP＝∠PCD，從而得：△BPE≌△PDC，即可得到結論；②由△BPE≌△PDC，得∠PBE＝∠DPC，進而得∠PBE＝∠D'PC，由∠BPC＝∠A+∠PBE＝60°+∠D'PC，即可得到結論；

（2）①過點P作PE∥BC交AB的延長線于E，易證△APE是等邊三角形，得AP＝PE，BE＝PC，∠BEP＝∠PCD＝60°，得△BPE≌△PDC（SAS），即可得到結論；②由△BPE≌△PDC，得∠PBE＝∠DPC，進而得∠PBE＝∠D'PC，即可得到結論.

（3）由（1）（2）知，∠BPD'＝60°，PB＝PD＝PD'，即可得到結論；

（4）由△ABC是等邊三角形，點P是AC的中點，得AP＝2，BP⊥AC，根據勾股定理得BP的值，進而即可得到答案.

（1）①∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，

過點P作PE∥BC交AB于E，如圖1，

∴∠AEP＝∠ABC＝60°，∠APE＝∠ACB＝60°，

∴∠AEP＝∠APE＝∠A＝60°，

∴△APE是等邊三角形，

∴AP＝PE，

∴AB﹣AE＝AC﹣AP，

∴BE＝PC，

∵AP＝CD，

∴PE＝CD，

∵∠BEP＝180°﹣∠AEP＝120°，∠PCD＝180°﹣∠ACB＝120°，

∴∠BEP＝∠PCD，

∴△BPE≌△PDC（SAS），

∴PB＝PD；

②由①知，△BPE≌△PDC，

∴∠PBE＝∠DPC，

∵△PCD′與△PCD關于直線AC對稱，

∴∠DPC＝∠D'PC，

∴∠PBE＝∠D'PC，

∵∠BPC＝∠A+∠PBE＝60°+∠D'PC，

∴∠BPD'＝∠BPC﹣∠D'PC＝60°；

（2）①PB＝PD仍然成立，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠DCP＝60°

過點P作PE∥BC交AB的延長線于E，如圖2，

∴∠AEP＝∠ABC＝60°，∠APE＝∠ACB＝60°，

∴∠AEP＝∠APE＝∠A＝60°，

∴△APE是等邊三角形，

∴AP＝PE，

∴AE﹣AB＝AP﹣AC，

∴BE＝PC，

∵AP＝CD，

∴PE＝CD，

∵∠BEP＝∠PCD＝60°

∴△BPE≌△PDC（SAS），

∴PB＝PD；

②∠BPD′的度數不發生變化，理由如下：

由①知，△BPE≌△PDC，

∴∠PBE＝∠DPC，

∵△PCD′與△PCD關于直線AC對稱，

∴∠DPC＝∠D'PC，

∴∠PBE＝∠D'PC，

∴∠BPD'＝∠D'PC﹣∠BPC＝∠PBE﹣∠BPC

＝∠PBE﹣（∠APE﹣∠BPE）

＝∠PBE﹣（60°﹣∠BPE）

＝∠PBE+∠BPE﹣60°

＝180°﹣∠AEP﹣60°

＝180°﹣60°﹣60°

＝60°；

（3）∵由（1）（2）知，∠BPD'＝60°，PB＝PD＝PD'，

∴將△PCD′繞點P順時針旋轉，在旋轉的過程中，PD′與PB能重合，

∴旋轉的角度為60°；

（4）如圖3，由（1）知，BP＝PD，由對稱得，PD＝PD'，

∴BP＝PD'，

∵△ABC是等邊三角形，點P是AC的中點，

∴AP＝AC＝AB＝2，BP⊥AC，

∴∠APB＝90°，

在Rt△ABP中，根據勾股定理得，BP＝，

∴PD'＝2．