Question

【題目】如圖，頂點為的二次函數圖象與x軸交于點，點B在該圖象上，交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接、．

（1）求該二次函數的關系式．

（2）若點B在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動，請解答下列問題：

①連接，當時，請判斷的形狀，并求出此時點B的坐標．

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的關系式為；（2）①是等腰直角三角形，此時點B坐標為；②見解析

【解析】

（1）利用待定系數法即可得到答案；

（2）①設，由點的對稱性得到，再由勾股定理得到答案；②設直線與x軸交于點D，求得直線解析式，再結合題意即可得到答案.

解：（1）∵二次函數頂點為

∴設頂點式

∵二次函數圖象過點

∴，解得：

∴二次函數的關系式為

（2）設

∴直線解析式為：

∵交對稱軸l于點M

∴當時，

∴

∵點M、N關于點P對稱

∴，

∴，即

①∵

∴

∴

解得：

∴

∴，

∴，，B

∴，

∴是等腰直角三角形，此時點B坐標為．

②證明：如圖，設直線與x軸交于點D

∵、

設直線解析式為

∴ 解得：

∴直線：

當時，，解得：

∴

∵，軸

∴垂直平分

∴

∴