Question

6．在等邊△ABC中，點E是AB上的動點，點E與點A、B不重合，點D在CB的延長線上，且EC=ED．
（1）如圖1，若點E是AB的中點，求證：BD=AE；
（2）如圖2，若點E不是AB的中點時，（1）中的結論“BD=AE”能否成立？若不成立，請直接寫出BD與AE數理關系，若成立，請給予證明．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質得出AE=BE，∠BCE=30°，再根據ED=EC，得出∠D=∠BCE=30°，再證出∠D=∠DEB，得出DB=BE，從而證出AE=DB；
（2）作輔助線得出等邊三角形AEF，得出AE=EF，再證明三角形全等，得出DB=EF，證出AE=DB．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵點E是AB的中點，
∴CE平分∠ACB，AE=BE，
∴∠BCE=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°．
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE．
∴AE=DB．
（2）解：AE=DB；
理由：過點E作EF∥BC交AC于點F．如圖2所示：

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等邊三角形．
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠ECF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD．

點評 本題考查了等邊三角形的性質與判定、三角形的外角以及全等三角形的判定與性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵．