Question

15．我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非．”如圖，在一個邊長為1的正方形紙版上，依次貼上面積為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$，…，$\frac{1}{{2}^{n}}$的矩形彩色紙片（n為大于1的整數(shù)）．請你用“數(shù)形結(jié)合”的思想，依數(shù)形變化的規(guī)律，計算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 由題意可知正方形的總面積為1，然后，通過觀察未貼部分，來確定已貼部分總面積：貼$\frac{1}{2}$，余$\frac{1}{2}$，再貼$\frac{1}{2}$，余$\frac{1}{4}$，則$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$，再貼$\frac{1}{8}$，余$\frac{1}{8}$，則$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$=1-$\frac{1}{8}$，所以，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

解答 解：∵正方形的邊長為1，
∴正方形的面積為1，
∵正方形減去未貼部分的面積既是已帖部分的面積，
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故答案為：1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題主要考查通過分析總結(jié)歸納規(guī)律，關(guān)鍵在于用“數(shù)形結(jié)合”的思想，分析出余下部分的面積，即可推出已帖部分的面積．