Question

從1、2、3、…、100這100個數中任意挑出51個數字，證明在這51個數中，一定：
（1）有2個數互質；
（2）有2個數的差為50；
（3）有8個數，它們的最大公約數大于1．

Answer 1

分析：（1）因為相鄰的兩個自然數一個奇數、一個是偶數，相差1，所以這兩個數必定是互質數，1、2、3、…、100這100個數中，考慮最優情況：挑出的50個數字分別是2、4、6、8、10…100，都不互質，則再任意挑出1個數，則必定與這50個偶數中一個數相鄰，是互質數，據此即可解答；
（2）將1至100分成50組（即50個抽屜）：（1，51）（2，52）（3，53）（4，54）…（50，100）；根據抽屜原理，進行分析即可．
（3）將100個數分成5組（一個數可以在不同的組內）：第一組：2的倍數，即{2，4，…，100}；第二組：3的倍數，即{3，6，…，99}；第三組：5的倍數，即{5，10，…，100}；第四組：7的倍數，即{7，14，…，98}； 第五組：1和大于7的質數，即{1，11，13，…，97}．據此利用抽屜原理即可解答．

解答：解：（1）因為相鄰的兩個自然數一個奇數、一個是偶數，相差1，
所以這兩個數必定是互質數，1、2、3、…、100這100個數中，
考慮最優情況：從1到100這100個數中，挑出的50個數字分別是2、4、6、8、10…100，都不互質，
則再任意挑出1個數，則必定與這50個偶數中一個數相鄰，是互質數，

（2）構造如下50個抽屜：（1，51），（2，52），（3，53）…（50，100）；
從這50組中選出51個數，由抽屜原理，必有一組選了兩個數，而這兩個數的差就是50，據此得證．

（3）把1到100這100個數分組（一個數可以在不同的組內）：第一組：2的倍數，即{2，4，…，100}；
第二組：3的倍數，即{3，6，…，99}；
第三組：5的倍數，即{5，10，…，100}；
第四組：7的倍數，即{7，14，…，98}； 
第五組：1和大于7的質數，即{1，11，13，…，97}．
第五組中一共有22個數，所以選出的51個數中至少有29個數在第一組到第四組中，
根據抽屜可以知道總會有8個數在第一組到第四組的某一組中，這8個數的最大公約數大于1，據此得證．

點評：此題屬于典型的抽屜原理習題，解答此類題的關鍵是找出把誰看作“抽屜個數”，把誰看作“物體個數”，然后根據抽屜原理解答即可．