Question

已知a與b的最大公約數是12，a與c的最小公倍數是300，b與c的最小公倍數也是300，那么滿足上述條件的自然數a，b，c共有多少組？
（例如：a=12、b=300、c=300，與a=300、b=12、c=300是不同的兩個自然數組）

Answer 1

分析：先將12、300分別進行質因數分解：12=2²×3，300=2²×3×5²，
（1）確定a的值．依題意a只能取12或12×5=60或12×25=300；
（2）確定b的值；
當a=12時，b可取12，或12×5，或12×25；
當a=60，300時，b都只能取12；
所以，滿足條件的a、b共有5組：
a=12，b=12； a=12，b=60；a=12，b=300；a=60，b=12； a=300，b=12；
（3）確定a，b，c的組數．
對于上面a、b的每種取值，依題意，c均有6個不同的值：
5²，5²×2，5²×2²，5²×3，5²×2×3，5²×2²×3，即25，50，100，75，150，300；
所以滿足條件的自然數a、b、c共有：5×6=30（組）．

解答：解：12=2²×3，300=2²×3×5²，
a=12或a=12×5=60或a=12×25=300；
當a=12時，b=12或b=12×5或b=12×25；
當a=60，300時，b都只能取12；
滿足條件的a、b共有5組：
a=12，b=12； a=12，b=60；a=12，b=300；a=60，b=12； a=300，b=12；
對于a、b的每種取值，依題意，c均有6個不同的值：
25，50，100，75，150，300．
所以滿足條件的自然數a、b、c共有：5×6=30（組）
答：滿足上述條件的自然數a，b，c共有30組．

點評：此類題的關鍵是認真審題，弄清數量間的關系，然后根據題中給出的條件，進行比較、分析，進而得出結論．