Question

黑板上寫有1，2，3，…，2011一串數．如果每次都擦去最前面的16個數，并在這串數的最后再寫上擦去的16個數的和，直至只剩下1個數，則：
（1）最后剩下的這個數是多少？
（2）所有在黑板上出現過的數的總和是多少？

Answer 1

分析：（1）每操作一次，不影響黑板上所有數的總和，因此最后剩下的和=1+2+3+…+2011，根據高斯求和公式完成即可．
（2）由于倒數第2次操作，黑板上就16個數，總和是2023066，這16個數來源于16×16=256個數，這256個數的和也同上．2011-（16-1）x=256，x=117次顯然，從開始，只要117次操作，黑板上就剩256個數．據此依據規則分析即可．①原有2011個數，和2023066
②操作117次，黑板剩余256個數：1873到2011，新出現117個和．這117個和=2023066-（1873+2011）*139/2=1753128
③操作16次，黑板剩余16個數都是新出現，和=2023066
④操作1次，黑板剩余1個數=2023066；
綜上，所有出現過的數=2023066+1753128+2023066+2023066=7822326

解答：解：（1）1+2+3+…+2011
=（1+2011）×2011÷2
=2012×2011÷2
=2023066
答：最后剩下的這個數是2023066．

（2）由于倒數第2次操作，黑板上就16個數，總和是2023066，這16個數來源于16×16=256個數，這256個數的和也同上．
2011-（16-1）x=256，x=117次，
顯然，從開始，只要117次操作，黑板上就剩256個數．
①原有2011個數，和2023066
②操作117次，黑板剩余256個數：1873到2011，新出現117個和．
這117個和=2023066-（1873+2011）×139÷2=1753128
③操作16次，黑板剩余16個數都是新出現，和=2023066
④操作1次，黑板剩余1個數=2023066
綜上，所有出現過的數=2023066+1753128+2023066+2023066=7822326．

點評：完成本題要注意分析題意，然后根據規則分析完成．