Question

把一些棱長為1的正方體粘成一個棱長為n（n為正整數）的實心正方體，將大正方體的一個或幾個面染成紅色，然后再將大正方體拆散，發現有281個小正方體被染色了，那么n=

9

．

Answer 1

分析：三面涂色的只有8個頂點，兩面涂色的是12條棱上除去頂點的部分，一面涂色的是比棱長少2的正方形，據此計算即可解答．

解答：解：我們把大正方體分為上、下，前、后，左、右六個面．
1．如果只染一個面，只染大正方體的上面，那么，被染色的小正方體的塊數應為n²個，因為281是質數，不是一個完全平方數，所以不可能是染一個面．
2．如果將大正方體的兩個面染成紅色有兩種情況．
  ①染上下兩個面（兩個面相對），如圖1，這時被染色的小正方體的塊數應為2n²個，這也是不可能的．
②染上面和前面兩個面（兩個面相鄰），如圖2，這時這時被染色的小正方體的塊數應為：2 n²-n=n×（2n-1），因為281是質數，所以n×（2n-1）不可能等于281．

3．如果將大正方體的三個面染成紅色，有如下兩種情況
①染上面、前面和右面，如圖3，這時被染色的小正方體的塊數應為n³-（n-1）³，n³-（n-1）³應是被3除余1的數，這是因為：

n被3除的余數	0	1	2
n 3被3除的余數	0	1	2
（n-1）被3除的余數	2	0	1
（n-1）3被3除的余數	2	0	1
n3-（n-1）3被3除的余數	1	1	1

因為281 被3除余2，所以n ³-（n-1）³不可能等于281．（或被染色的小正方體的塊數，還可以表示為3n²-3n+1=281，那么3n ²-3n=280，因為280不是3的倍數，所以也不合題意）．
②染上面、前面和下面，如圖4，這時被染色的小正方體的塊數應為：
3n²-2n=n×（3n-2），因為281是質數，所以n×（3n-2）不可能等于281．
4．如果將大正方體的四個面染成紅色，有如下兩種情況
①上、下兩個面不染色，如圖5，把被染上紅色的小正方體切分成弦圖那樣，這時，被染上紅色的小正方體塊數應為4的倍數，而281不是4的倍數，不合題意．
②上面和前面不染色，如圖6，這時被染色的小正方體的塊數為：
2n²+n×（n-2）+（n-2）×（n-1）=4n²-5n+2
4n²-5n+2=281
4n²-5n=279
n×（4n-5）=279
因為279=1×179=3×91=9×31，經試驗只有當n=9時，才符合要求．
5．如果將大正方體的五個面染上紅色，如上面不染色，這時被染色的小正方體的塊數為：2n²+2n（n-2）+（n-2）×（n-2）=5n²-8n+4
如果5 n²-8n+4=281，那么5 n²-8n=277，n×（5n-8）=277，由于277是質數，所以n沒有符合題意的解．
 6．如果將大正方體的六個面都染上紅色，這時被染色的小正方體的塊數為：
n³-（n-2）³
由于n與n-2是同奇偶的，所以n³與（n-2）³也應是同奇偶的，同奇偶的兩個
數的差應為偶數，而281是奇數，所以n³-（n-2）³不可以等于281，不符合題意．
綜上所述，只有當n=9；有兩個相鄰的面不染色時，才符合題目要求．所以n=9．
故答案為：9．

點評：根據立體圖形的知識可知：三個面均為紅色的是各頂點處的小正方體，在各棱處，除去頂點處的正方體的有兩面紅色，在每個面上，除去棱上的正方體都是一面紅色，所有的小正方體的個數減去有紅色的小正方體的個數即是沒有涂色的小正方體．