Question

將自然數1、2、3，…依次寫下去組成一個數：12345678910111213…，如果寫到某個自然數時，所組成的數恰好第一次能被72整除，那么這個自然數是多少？

Answer 1

分析：72=8×9，8和9互質，即這個自然數能同時被8和9整除．因為任意9個連續自然數的和能被9整除，所以任意9個連續自然數所組成的多位數一定能被9整除．那么，當寫到9、18、27、36、45、…時，能被9整除．因為9、18、27、36、45、…本身又都是9的倍數，所以，寫到8、17、26、35、44、…時也都能被9整除．又因為被8整除的數的特征為末三位所組成的數能被8整除．因為678、718、526都不能被8整除，而536能被8整除，所以這個自然數為36．

解答：解：因為72=8×9，8和9互質，任意9個連續自然數所組成的多位數一定能被9整除，
則9、18、27、36、45、…時，能被9整除．
因為9、18、27、36、45、…本身又都是9的倍數，
所以寫到8、17、26、35、44、…時也都能被9整除．
因為678、718、526都不能被8整除，而536能被8整除，
所以這個自然數為36．
答：這個自然數是36．

點評：考查了數的整除特征，關鍵是熟悉任意9個連續自然數的和能被9整除，被8整除的數的特征為末三位所組成的數能被8整除．