Question

有三個連續自然數，其中最小的一個能被11整除，中間一個被15除余2，最大一個能被17整除，求最小的一個是多少？

Answer 1

考點：數的整除特征

專題：整除性問題

分析：設三個連續的自然數分別是n、n+1、n+2，則

n=11a n+1=15b+2 n+2=17c

，所以

n=11a…① n=15b+1…② n=17c-2…③

，由①②，可得11a=15b+1，所以a=

15b+1

11

=b+

4b+1

11

，據此求出滿足①②的n的最小值是多少，然后再結合③式，求出n的最小值是多少即可．

解答： 解：設三個連續的自然數分別是n、n+1、n+2，
則

n=11a n+1=15b+2 n+2=17c

，
所以

n=11a…① n=15b+1…② n=17c-2…③

，
由①②，可得11a=15b+1，
所以a=

15b+1

11

=b+

4b+1

11

，
當b=8時，a=11，n=11×11=121，
因為n=121時，c=

123

17

不是整數，
所以令17c-2=121+11×15d=121+165d，
可得c=

123+165d

17

=9d+7+

12d+4

17

，
當d=11時，c=114，
所以n最小是：
17×114-2
=1938-2
=1936
即三個連續自然數中最小的一個是1936．
答：三個連續自然數中最小的一個是1936．

點評：此題主要考查了數的整除的特征，解答此題的關鍵是求出滿足最小的一個能被11整除，中間一個被15除余2的最小的自然數是121．