Question

（2009?中山市）有4個自然數，它們的和是1111，如果要求這四個數的公約數盡可能大，那么這四個數的公約數最大可能是

101

．

Answer 1

分析：由題中4個自然數，他們的和是1111，如果要求這4個數的公約數盡可能大，那么4個自然數的公約數也一定是1111的約數，這樣，討論4個數的最大公約數的問題可以轉化為討論1111的約數問題．在此基礎上來確定這4個數，使他們的和為1111且最大公約數為最大．

解答：解：因為1111=101×11，其約數有1，11，101，1111．顯然1111不符合要求，
再考慮約數101，由于1111=101×11=101×（1+2+3+5）=101+101×2+101×3+101×5．
如果取101，101×2，101×3，101×5這4個數，就滿足題目的要求其和為1111且他們的最大公約數為101．
（由于11=1+2+3+5=1+1+3+6=…，所以滿足條件的4個數并不唯一）．
故答案為：101．

點評：此題主要考查約數定理的靈活應用，關鍵是明確要使這4個數的公約數盡可能大，那么4個自然數的公約數也一定是1111的約數．