Question

在從1到1000的自然數中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數有

686

個．

Answer 1

分析：由于999÷5=199…5，即小于1000自然數中能被5整除的數為199個，999÷7=142…6，即能被7整除的數有142個；由于1000÷（7×5）=28…20，即小于1000自然數中能同時被7和5整除數有28個．根據容斥原更需可知，小于1000自然數中能被11或13整除的數共有199+142-28=313個，則在小于1000自然數中不能被7和5整除的數有999-313=686個．

解答：解：999÷5=199…5，即小于1000自然數中能被5整除的數為199個，
999÷7=142…6，即能被7整除的數有142個；
1000÷（7×5）=28…20，即小于1000自然數中能同時被7和5整除數有28個．
999-（199+142-28）
=999-313
=686（個）；
即小于1000而不能被5和7整除的自然數共有有686個．
故答案為：686．

點評：成本題要注意由于能同時被11和13整除數被重復加了一次，因此要從中減去．