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472. 已知D為平面ABC外一點，且DA、DB、DC兩兩垂直．求證：頂點D所對的三角形面積的平方等于其余三個三角形面積的平方和，即．

解析：如圖答9-25，設DA=a，DB=b，DC=c，則，，．在△ABD中，作DM⊥AB于M，則．　 ∵　 CD⊥AD，CD⊥DB，∴　 CD⊥平面ADB，∴　 CD⊥DM．在Rt△CDM中，

，　 ∴　

圖答9-25

471. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥平面ABC．求證：△ABD是銳角三角形．

解析：如圖答9-24，設AC=a，BC=b，CD=c，∵　 △ACD是Rt△，∴　 ．　 ∵　 △ABC是Rt△，∴　 ．∵　 △BCD是Rt△，∴　 ．而在

△ABD中，，又∵　 ∠BAD是三角形內角，∴　 0°＜∠BAD＜180°，∴　 ∠BAD是銳角，同理∠ABD、∠ADB是銳角，∴　 △ABD是銳角三角形．

470. 如圖9-55，將邊長為a的正三角形ABC按它的高AD為折痕折成一個二面角．

　(1)指出這個二面角的面、棱、平面角；

　(2)若二面角是直二面角，求的長；

　(3)求與平面所成的角；

　(4)若二面角的平面角為120°，求二面角的平面角的正切值．

解析：(1)∵　AD⊥BC，∴　AD⊥DC，，∴　二面角的面為ADC和面，棱為AD，二面角的平面角為．

　　(2)若，∵　AC=a，∴　，∴　．

　　(3)∵　，AD⊥DC，∴　AD⊥平面．∴　為與平面所成的角，在Rt△中，，∴　，于是

．

　　(4)取的中點E，連結AE、DE，∵　，，∴　，，∴　∠AED為二面角的平面角，∵　，，∴　，在Rt△AED中，，∴　

469. 在正方體中，，，且，(如圖9-54)．求：平面AKM與ABCD所成角的大小．

解析：由于BCMK是梯形，則MK與CB相交于E．A、E確定的直線為l，過C作CF⊥l于F，連結MF，因為MC⊥平面ABCD，CF⊥l，故MF⊥l．∠MFC是二面角M-l-C的平面角．設正方體棱長為a，則，．在△ECM中，由BK∥CM可得，，故．因此所求角的大小為或．

468. ．如圖9-53，是長方體，AB=2，，求二平面與所成二面角的大小．

解析：∵　平面ABCD∥平面，∴　平面與平面的交線l為過點且平行于AC的直線．直線l就是二平面與所成二面角的棱．又⊥平面，過作AH⊥l于H，連結AH．則為二面角的平面角．可求得．因此所求角的大小為或

467. 平面a ⊥平面g ，平面b ⊥平面g ，且a ∩g =a，b ∩g =b，a∥b，平面a 與b 的位置關系是________．

解析：平行．在g 上作l⊥a，∵　a∥b，∴　l⊥b．∵　a ⊥g 于a，∴　l⊥a ，同理l⊥b ．∴　a ∥b ．

466. 已知二面角a -l-b 的大小為q (q 是銳角)，A∈l，B∈l，，且P∈a ，P在b 內的射影為P′．記△ABP的面積為S，則△ABP′的面積S′等于________．

解析：Scosq ．作PH⊥l于H，連結．∵　 ，∴　(三垂線定理的逆定理)．∴　為二面角a -l-b 的平面角，即．，，∴　

圖答9-46

465. 如圖9-52，A是△BCD所在平面外一點，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，則二面角A-BD-C的平面角是(　)．

　A．鈍角　　　　　　B．直角

　C．銳角　　　　　　D．大小不確定的

解析：A．取BD中點E，連結AE、CE，由AB=AD，∠ABC=∠ADC，AC=AC得△ABC≌△ADC，∴　DC=BC，∴　AE⊥BD，CE ⊥ BD，∴　∠AEC為二面角A-BD-C的平面角．∵　，，，∴　

，∵　∠AEC為鈍角

464. 一條線段的兩個端點分別在一個直二面角的兩個面內(都不在棱上)，則這條線段與這兩個平面所成的角的和(　)．

　A．等于90°　　　　　B．大于90°

　C．不大于90°　　　　　D．不小于90°

解析：C．如圖答9-45，設直二面角a -l-b ，作AC⊥l于C，BD⊥l于D．∵　a ⊥b ，則AC⊥b ，BD⊥a ，連結BC、AD，則∠ABC為AB與平面b 所成的角，∠BAD為AB與平面a 所成的角．

　當AB⊥l時，易得AB與a 、b 所成角之和等于90°，當AB與l不垂直時，設，，，，　　 ，∵　BC＞BD，∴　，∵　函數y=sinx在上是增函數，∴　，∵　，∴　，∴　．故AB與a 、b 所成角之和≤90°．

463. 設直線l、m，平面a 、b 、g 滿足b ∩g =l，l∥a ，ma ，且m⊥g ，則必有(　)．

　A．a ⊥g ，且l⊥m　　　　 B．a ⊥g ，且m∥b

　C．m∥b ，且l⊥m　　　　 D．a ∥b ，且a ⊥g

解析：A．