如圖2-6所示，已知AB為⊙O的直徑，C、D是直徑AB同側圓周上兩點，且=，過D作DE⊥AC于點E，求證：DE是⊙O的切線.

圖2-6

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如圖所示，圓柱底面的直徑長度為，為底面圓心，正三角形的一個頂點在上底面的圓周上，為圓柱的母線，的延長線交于點， 的中點為.

（1）  求證：平面⊥平面；
（2）  求二面角的正切值.

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一、選擇題

       1．Ｃ            2．Ｂ            3．Ｂ            4．Ｄ                   5．B              6．Ｃ    

7．Ｄ            8．Ｃ       9．C       10．C

二、填空題

       11．           12．                  13．                   14．2            15．30°

三、解答題

16．解：（Ⅰ）由，根據正弦定理得，所以，

由為銳角三角形得．………………………………………………7分

（Ⅱ）根據余弦定理，得．

所以，．………………………………………………14分

17．解：（Ⅰ）記表示事件：“位顧客中至少位采用一次性付款”，則表示事件：“位顧客中無人采用一次性付款”．

，

．………………………………………………7分

（Ⅱ）記表示事件：“位顧客每人購買件該商品，商場獲得利潤不超過元”．

表示事件：“購買該商品的位顧客中無人采用分期付款”．

表示事件：“購買該商品的位顧客中恰有位采用分期付款”．

則．

，．

．……………………………………14分

18．解法一：（1）作，垂足為，連結，由側面底面，得底面．

因為，所以，又，故為等腰直角三角形，，

由三垂線定理，得．………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

依題設，

故，由，，．

又，作，垂足為，

則平面，連結．為直線與平面所成的角．

所以，直線與平面所成角的正弦值為．………………………………………………14分

解法二：（Ⅰ）作，垂足為，連結，由側面底面，得平面．

因為，所以．

又，為等腰直角三角形，．

如圖，以為坐標原點，為軸正向，建立直角坐標系，

因為，，

又，所以，

，．

，，，，所以．…………………7分

（Ⅱ），.

與的夾角記為，與平面所成的角記為，因為為平面的法向量，所以與互余．

，，

所以，直線與平面所成角的正弦值為．………………………14分

19．解：（Ⅰ），

因為函數在及取得極值，則有，．

即

解得，．………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

當時，；

當時，；

當時，．

所以，當時，取得極大值，又，．

則當時，的最大值為．

因為對于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范圍為．………………………14分

20．解：（Ⅰ）設的公差為，的公比為，則依題意有且

解得，．

所以，

．………………………6分

（Ⅱ）．

，①

，②

②－①得，

．………………………12分

21．證明：（Ⅰ）橢圓的半焦距，

由知點在以線段為直徑的圓上，

故，

所以，．………………………6分

（Ⅱ）（?）當的斜率存在且時，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得．

設，，則

，，

；

因為與相交于點，且的斜率為．

所以，．

四邊形的面積

．

當時，上式取等號．………………………10分

（?）當的斜率或斜率不存在時，四邊形的面積．……………………11分

綜上，四邊形的面積的最小值為．………………………12分