Question

如圖所示，圓柱底面的直徑長度為，為底面圓心，正三角形的一個頂點在上底面的圓周上，為圓柱的母線，的延長線交于點， 的中點為.

（1）   求證：平面⊥平面；

（2）   求二面角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】本試題主要考查了面面儲值的判定和二面角的求解的綜合運用。

解：（1）證明： 正三角形ABP中，F為BP的中點， ∴AF⊥PB      …………1分

∵PC為圓柱的母線， ∴PC⊥平面ABC，

而AC在平面ABC內  ∴PC⊥AC  ………………………………2分

∵AB為的直徑，∴ACB=90°即 AC⊥BC  ………………………………3分

PCBC=C，∴AC⊥平面PBC，  ………………………………………………4分

而PB在平面PBC內, ∴AC⊥PB             ……………………………………5分

ACAF=A，∴PB⊥平面ACF，…………………………………………………6分

而PB在平面ABP內，∴平面ABP⊥平面ACF……………………………………7分

（2）   由（1）知AC⊥BC，PC⊥AC，同理PC⊥BC，

而PA=PB=PC=，可證RTABC≌RTPBC，

∴AC=BC=PC=2……8分

以C為原點，CA,CB,CP所在直線為X,Y,Z軸建立空間直角坐標系

則  ……………………………9分

∵PC⊥平面ABC，∴為平面CEB的一個法向量………………10分

設平面CEF的一個法向量，

則  即  ，令y=-1則       ……………………11分

設二面角F-CE-B的平面角為，

∴……………………………………………12分

∴， ……………………………………………………………………13分

所以二面角F-CE-B的正切值為 ………………………………………14分