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在正三棱柱中，

求證：⑴；　　

（2）求二面角的正切值。

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一.選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

B

A

C

D

D

D

A

B

A

A

二.填空題

   13.4；        14. ；       15.15；     16.,可以填寫任一實數.

三.解答題

17. （Ⅰ）列表：

2

6

10

14

0

1

3

1

1

描點作圖，得圖象如下.

6分

（Ⅱ）

所以,當,即時,函數取得最小值.     12分

18.由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為5、25和20．

（I）該班學生參加活動的人均次數為=．    6分

（II）從該班中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概率為．                                              12分

19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，

∴△BAE，△CDDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′.                  6分

（Ⅱ）法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC

垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，

∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂線定理得：D′F⊥BC

∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，

∴，

即二面角D′―BC―E的正切值為.                              12分

法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系，

則

設平面BEC的法向量為；平面D′BC的法向量為

由

取

∴

∴二面角D′―BC―E的正切值為.                                 12分

20．（I），

   （II）由（I）知

21（Ⅰ）設橢圓C的方程為，則由題意知b = 1.

∴橢圓C的方程為  …………………………………………………6分

（Ⅱ）易知直線的斜率為，從而直線的斜率為1.設直線的方程為，代如橢圓的方程，并整理可得.設，則，.于是

解之得或.

當時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意.當時，經檢驗知和橢圓相交，符合題意.

所以，當且僅當直線的方程為時, 點是的垂心.        12分

22.(Ⅰ)對一切有

于是,                            

         ()   5分

(Ⅱ)由及

兩式相減,得:

       ∴.                                10分

(Ⅲ) 由于，        

所以，   14分